Nulpunkter i polynomier (med faktorisering): grupperingsmetoden

Vi får at vide, at p(x) er lig dette udtryk. og vi skal afbilde alle nulpunkterne eller skæringer med x-aksen for polynomiet i det interaktive koordinatsystem. Der står interaktiv, fordi det er et screenshot af en øvelse fra Khan Academy og der kan du blot klikke, når du skal afsætte punkterne, som du så enten kan fjerne eller flytte. Derfor interaktiv, men det er blot et screenshot, så jeg vil tegne ovenpå koordinatsystemet. Formålet her er at finde nulpunkterne i dette polynomium og afsætte dem. Sæt videoen på pause og prøv selv. Okay, for at finde nulpunkterne i et polynomium, så skal du bestemme de x-værdier, der gør polynomiet lig 0. Man kan også sige, det er de x-værdier, der gør denne ligning sand. x³ + x² - 9x - 9 er lig 0. Det nemmeste er at forsøge at faktorisere udtrykket. Dette er et tredjegradspolynomium, så det er ikke helt nemt at faktorisere. Hvordan skal vi gribe det an? Jeg leder altid først efter fælles faktorer blandt alle led og det ser ikke ud til, at der er nogle. Dernæst ser jeg, om jeg kan faktorisere med grupperingsmetoden. Med grupperingsmetoden ser jeg på de første to led og de to sidste led. Er der noget jeg kan faktorisere ud af disse to led? Hvor meget kan jeg faktorisere ud af dem? Og hvor meget kan jeg faktorisere ud af de to sidste led? Og så håbe, der er noget fælles tilbage. Det jeg mener er, disse to led har en fælles faktor x². Lad os sætte x² udenfor parentes og disse to led bliver x² (x + 1). I disse to led kan jeg sætte -9 udenfor parentes og omskrive til -9(x + 1). Det går jo helt godt, fordi nu kan vi se, hvis siger dette nu er vores første led og dette er vores andet led, så kan du se, at (x + 1) er en faktor i dem begge og vi kan sætte det udenfor parentes. Vi kan faktorisere (x + 1) ud. -- det gør jeg med lyseblå. Nej vist hellere en lidt mørkere blå -- Hvis du sætter (x + 1) udenfor, så får du (x + 1) (x² - 9), som er lig 0. Vi er ikke færdige med at faktorisere. Vi har en differens mellem to kvadrater. x² - 9 svarer til -- lad mig lige skrive det helt -- (x + 1) gange (x² - 9) som jeg kan skrive som (x + 3) (x - 3) Hvis noget af dette er nyt for dig, hvis den første faktorisering er ny, så opfordrer jeg dig til at gennemgå faktorisering med gruppering. Hvis det jeg lige gjorde nu er ukendt, så opfordrerer jeg dig til at gennemgå kvadratsætningerne. Uanset, alt dette er lig 0. Hvis produktet af flere ting er lig 0, hvis blot én af tingene er 0, så bliver hele udtrykket lig 0. En løsning er den værdi, der gør (x + 1) lig 0. -- jeg bruger lige den mørkere farve -- (x + 1) er lig 0 og det er x = -1. En anden løsning er den, der gør (x + 3) = 0. Det er naturligvis x = -3. Trækker 3 fra på begge sider. Endnu en løsning er den x-værdi, der gør (x - 3) = 0. Læg 3 til på begge sider, og du får x = 3. Sådan Vi har tre nulpunkter. Hvis du udregner værdien af polynomiet for en af disse x-værdier, så er det 0. Vi kan afbilde det her på denne graf. Vi har x = -1, som er lig her. x = -3, som er lig der. og x = 3 er her. Hvorfor skal du kunne gøre dette? I denne øvelse er vi nu færdige, men dette er nyttigt. Det kan fortælle os lidt om, hvordan grafen ser ud. Det fortæller os, hvor grafen skærer x-aksen. Grafen ser måske sådan her ud, eller måske sådan her. Vi skal bruge noget andet information for at finde ud af mere. Jeg siger tak for denne gang.