Introduktion til nulpunkter i polynomier

Vi har her et polynomium p(x), som vi kan faktorisere og skrive som (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4). Det vi skal se på er nulpunkterne i polynomiet. Du siger måske, "Hvad er et nulpunkt i et polynomium?" Det er de x-værdier, hvor polynomiet er lig 0. Man kan også sige, for hvilke x-værdier er p(x) er lig 0? Eller man kan også sige, for hvilke x-værdier er dette udtryk lig 0? For hvilke x-værdier er (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) lig 0? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænke lidt over det, inden vi laver opgaven sammen. Fidusen er her at se, når du har et produkt af flere udtryk, hvis ét af dem er lig med 0, så er det ligegyldigt, hvad de andre er, da 0 gange noget altid er lig 0. Det kaldes også Nul-reglen. Den siger, hvis du kan finde en x-værdi, der får ét af disse udtryk til at være 0, så vil hele udtrykke være 0. Nulpunkterne i dette polynomium vil være de x-værdier, der får (x - 1) til at være 0. Vi ved, hvilken x-værdi det er. Hvis x er lig 1. x = 1 er et nulpunkt i polynomiet. Man kan også sige p(1) er lig 0, altså hele polynomiet er 0. Hvordan ved jeg det? Hvis jeg indsætter 1, så vil (x - 1) blive lig 0, Når du har 0 gange en masse, så bliver det hele lig 0. Vi kan finde de andre nulpunkter på samme måde. Hvad vil gøre denne del lig 0? Hvilken x-værdi vil gøre (x + 2) lig 0? x lig - 2 vil gøre (x + 2) lig 0. x = -2 er endnu et nulpunkt i polynomiet. Vi kan fortsætte. Hvad gør (x - 3) lig 0? Det er x = 3, som gør (x - 3) lig 0, og det vil gøre hele udtrykket lig 0. Sidst men ikke mindst, hvad gør (x + 4) lig 0? Det er x = -4. Sådan, vi har fundet fire nulpunkter i dette polynomium. Når x er 1, så er polynomiet lig 0. Når x er -2, så er polynomiet lig 0. Når x er 3, så er polynomiet lig 0. og når x er -4, så er polynomiet lig 0. En af de interessante ting ved nulpunkterne i et polynomium er at du kan bruge dem til at få en ide om, hvordan grafen vil se ud. For eksempel vi ved, at dette polynomium har værdien 0 i disse nulpunkter. Lad mig lave en skitse af grafen her. Dette er min x-akse og dette er min y-akse. Vi har 1, 2, 3 og 4. Vi har -1, -2, -3 og -4. Vi ved, dette polynomium p(x) er lig 0 ved x = 1. Så det skærer x-aksen lige her. Det er lig 0 ved x = -2, altså lige der. Ved x = 3, lige der og ved x = -4. Ud fra dette ved vi ikke præcis, hvordan grafen ser ud. Vi kan prøve nogle værdier og se om den er over eller under x-aksen. Det kan man gøre, nu da vi ved at grafen skærer x-aksen i disse punkter. Den ser måske således ud. Dette er en meget grov skitse. Den ser måske sådan her ud. Vi ved det ikke med mindre vi lægger lidt mere arbejde i det. Jeg har allerede været på Desmos og for at tegne den. Du kan se, den ser præcis ud, som vi forventede. Grafen for dette polynomum skærer x-aksen ved x = -4, -- lad mig lige bruge farver -- x = -4 og det er dette nulpunkt. x = -2 og det er dette nulpunkt. x = 1 og det er dette nulpunkt. og x = 3, lige her. I andre videoer vil gå mere i dybden med dette emne.