Kongruente vinkler har samme vinkelmål

I denne video skal vi bevise, at vinkler er kongruente hvis og kun hvis de har samme vinkelmål. Som definition for kongruens bruges definitionen med stive transformationer, som siger, at to figurer er kongruente hvis og kun hvis der er et forløb af stive transformationer, der kan flytte den ene figur over i den anden. Hvad er stive transformationer? Det er transformationer, der bevarer afstand mellem punkter og vinkelmål. Okay, lad os komme i gang. Lad os starte med to vinkler, der er kongruente. Og jeg skal bevise, at de har det samme vinkelmål. Vinkel ABC og vinkel DEF er kongruente. Det betyder pr. definitionen med stive transformationer, at der er et forløb af stive transformationer, der kan flytte vinkel ABC over i vinkel DEF. Stive transformationer bevarer vinkelmål pr. definition. Hvis vi kan flytte den venstre vinkel over i den højre vinkel med transformationer, der bevarer vinkelmål, så må vinklerne være lige store. Derfor må størrelsen af vinkel ABC være lig størrelsen af vinkel DEF. Vi har nu vist det grønne udsagn på den ene måde. Ting, der er kongruente, har det samme vinkelmål. Lad os nu prøve at gøre det den anden vej. Lad os starte med, at vinkel ABC har samme størrelse som vinkel DEF. For at bevise de er kongruente, skal vi blot vise, der altid er et forløb af stive transformationer, der kan flytte vinkel ABC over i vinkel DEF. Som hjælp, lad os visualisere vinklerne. Jeg tegner hurtigt vinkel ABC. En vinkel er defineret som to halvlinjer, der starter i et punkt, vinkelspidsen. Her er vinkel ABC. Lad mig tegne vinkel DEF. Den ser nogenlunde således ud. Nu skal vi lave den første stive transformation. Lad os parallelforskyde vinkel ABC, så punkt B flyttes over i punkt E. Når vi har gjort det, så vil ABC se nogenlunde således ud. Punkt B er nu flyttet over i punkt E. Punkt A er flyttet her til. Punkt C er flyttet hertil. Nogle gange vil du se dem skrevet som A' og C'. Og punkt B er flyttet hertil. Det næste jeg vil gøre er at dreje vinkel ABC, omkring vinkelspidsen, omkring punkt B, så halvlinje BC ligger oven i halvlinje EF. Du drejer blot hele vinklen denne vej, så halvlinje BC ligger i halvlinje EF. Punkt C ligger ikke nødvendigvis i punkt F, da de kan have en forskellig afstand til deres vinkelspids. Men det er ok. En halvlinje kan defineres med ethvert punkt på halvlinjen. Når du har lavet drejningen, og halvlinje BC ligger i halvlinje EF, så er halvlinjerne tilsvarende. Da vinkel ABC har samme vinkelmål som vinkel DEF, må det medføre, at halvline BA nu ligger i halvlinje ED. Sådan, jeg har lavet et forløb af stive transformationer, der altid virker. Hvis du parallelforskyder, så vinkelspidserne flyttes over i hinanden og du dernæst laver en drejning, så de to nederste halvlinjer ligger i hinanden, så vil de to øverste halvlinjer også ligge i hinanden, da vinklerne har samme vinkelmål. Derfor vil de to vinkler ligge i hinanden. Og derfor ved vi, at vinkel ABC er kongruent med vinkel DEF. Og vi er færdige Vi har vist begge sider af dette udsagn. Hvis de er kongruente er de lige store. Hvis de har samme størrelse, er de kongruente.