Find en firkant ud fra dens symmetrier (eksempel 2)

To af de punkter, der definerer en vis firkant er (-4, -2) -- lad os afbilde det -- (-4, -2) og (0, 5) Her er (0, 5). Firkanten er uændret efter en spejling i linjen y = x/2. Hvordan ser den linje ud? y = x/2. Jeg laver den med blåt. y = x/2. Når x er lig 0, så er y lig 0. Skæring med y-aksen er 0. Hældningen er 1/2. Hver gang x stiger med 1, så vokser y med 1/2. Eller når x stiger med 2, så vokser y med 1. Når x stiger med 2, så vokser y med 1. Når x stiger med 2, så vokser y med 1. Eller man kan sige, at y altid er 1/2 af x. Når x er 4, så er y lig 2. Når x er 6, så er y lig 3. Når x er 8, så er y lig 4. Nu kan vi forbinde disse. Lad mig forsøge at lave en forholdsvis ret linje. Jeg fortsætter. Når x er -2, så er y lig -1. Når x er -4, så er y lig -2. Den går faktisk gennem det punkt. Og den fortsætter med en hældning på 1/2. Jeg laver lige linjen lidt tykkere, nu da jeg har fundet den. Dette er linjen y = x/2. Der står, at firkanten er uændret efter en spejling i linjen y er lig -2x + 5. Skæring med y-aksen er her 5. Når x er 0, så er y lig 5. Den går gennem dette punkt. Og hældningen er -2. Hver gang x stiger med 1, så aftager y med 2. Så vi kommer her til og her til. Vi fortsætter med en hældning på -2. Den kommer til at se nogenlunde således ud. Den går faktisk gennem det punkt og fortsætter så videre. Dette er mit bedste forsøg på at tegne den linje. Det er y = -2x + 5. Lad os om, vi tegne firkanten? Lad os først spejle firkanten eller de punkter vi har i linjen y = x/2. Dette er linjen for y = x/2. Det magenta punkt (-4, 2) ligger allerede på linjen. Det bliver sit eget spejlbillede, om man så må sige, da det ligger på spejlingsaksen. Men vi kan nemt spejle dette punkt i linjen. Vi laver en vinkelret linje. Faktisk er linjen y = -2x + 5 vinkelret på y = x/2. Hvordan ved vi det? Når en linje har hældningen m, så har en vinkelret linje en hældning, der er det modsat reciprokke, altså -1/m. Den første linje har hældningen 1/2. Hvad er det modsat reciprokke af 1/2? Det reciprokke af 1/2 er 2/1, og så det modsatte. Det er lig -2. Denne hældning det omvendt reciprokke af den hældning. Disse linjer er bestemt vinkelrette på hinanden. Når vi skal lave en vinkelret linje, så kan vi gå langs den linje her, mens vi forsøger at spejle punktet. Vi går 2 ned og 1 til højre, 2 ned og 1 til højre. Lad os gå 2 ned og 1 til højre og 2 ned og 1 til højre igen. Lad mig bruge samme farve. En spejling af dette punkt i y= x/2 giver det punkt her. Nu har vi 3 af firkantens hjørner. Lad os se, om vi kan få det fjerde. Lad os bruge det magenta punkt. Vi har allerede set, at det ligger på y = x/2. Når vi spejler det i y = x/2, så er det ingen hjælp, men vi kan forsøge at spejle det i y = -2x + 5. Husk at disse linjer er vinkelrette på hinanden. Lad mig lige vise det. Linjerne er vinkelrette på hinanden, så vi kan gå langs linjen og finde dets billede. Vi går 2 til højre og 1 op. Det gør vi 1, 2, 3 gange på den venstre side. Lad os gøre det 1, 2, 3 gange på den højre side. Dette er dets billede. Vi går hen til denne linje og den afstand vi er til venstre for den, skal vi også være til højre for den for at få dets billede. Sådan. Det er vores sidste punkt. Nu har vi alle fire hjørner i firkanten. Lad mig lige tegne firkanten. Vi har de fire hjørner. Dette er den ene side. Dette er den anden side. Du kan tjekke, de er parallelle. Hvordan ? De har den samme hældning. For at gå fra det punkt til det punkt går du 4 til højre og du skal gå 1 2 3 4 5 6 7 opad. Hældningen er 7/4. Stigning over fremdrift eller ændring i y over ændring i x, som er 7/4. Her går du 1 2 3 4. En stigning på 4 og en fremdrift på 1 2 3 4 5 6 7. Denne hældning er også 7/4. Disse to linjer er parallelle. Vi kan tegne de to sidste linjer. Her er den øverste. Hvad er dens hældnig Vi går fra x er lig 0 til x er lig 8. Vores ændring i y er -1 hver gang x stiger med 8. Så hældningen er -1/8. Det er præcis den samme hældning som her -1/8. Disse to linjer er også parallelle. Den linje er parallel med denne linje. Vi har i hvert fald et parallelogram, men lad os se, om vi kan være specifikke. Det ligner da lidt en rombe. Det ligner et parallelogram, hvor alle fire sider har samme længde. Der er et par måder, du kan tjekke, om dette parallelogram er en rombe. Du kan finde afstanden mellem punkterne. Vi kender koordinaterne, så vi kan bruge afstandsformlen, der er udledt af Pythagoras' sætning. Men du kan også se på diagonalerne i dette parallelogram og dermed finde ud af, om det er en rombe. Hvis diagonalerne er vinkelrette på hinanden, så er det en rombe. Vi har allerede vist at diagonalerne, den her og denne her, er vinkelrette på hinanden. De skærer hinanden i rette vinkler. Derfor må det være en rombe.