Grafer for rationale funktioner: lodrette asymptoter

Vi får at vide, at f(x) = g(x) / x² - x - 6, hvor g(x) er et polynomium. Hvilke af følgende kan være grafen for y = f(x)? De har givet os fire muligheder. Den fjerde mulighed er lige her over. Som altid sæt videoen på pause og se om du kan finde ud af det. Hvis du finder det svært, så kan du altid pause undervejs, hvis du pludselig får en god ide. Det er meget vigtigt, selv at prøve og ikke kun se mig gøre det. Men lad os takle den. Det er spændende. De giver os ikke mange oplysninger om f(x). Vi ved ikke engang, hvad tælleren er. Vi ved, det er et polynomium. Det er da lidt nyttigt. Men de giver os nævneren, så vi kan overveje, hvilke x-værdier der gør nævneren lig 0. Det kan vi gøre ved at faktorisere nævneren. Koefficienten på x-leddet er -1. Vi kan skrive -1, hvis vi vil. Konstantleddet er -6. Når vi faktoriserer kan vi spørge, hvilke to tal har produktet -6 og summen -1? -3 gange 2 er -6. -3 + 2 er -1. Jeg kan omskrive f(x) til f(x) = g(x) / (x - 3)(x + 2). Nævneren er derfor lig 0, når x = 3 eller når x = -2. Dér er nævneren lig 0. Det skriver jeg lige. Noget der giver nul i nævneren kan enten give en lodret asymptote eller en hævelig diskontinuitet i det punkt. Hvis vi har en hævelig diskontinuitet ved x = 3, så kan g(x) faktoriseres til (x -3) gange noget andet. I så fald vil x = 3 være en hævelig diskontinuitet. Hvis x = 3 ikke gør g(x) lig 0, altså g(3) ikke er lig 0 eller g(-2) ikke er lig 0, så vil de begge være lodrette asymptoter. Lad os se på mulighederne. Mulighed A har en lodret asymptote ved x = -2. Denne linje her, den lodrette asymptote, er ved x = -2. Det stemmer overens med det herover, men hvad med x = 3? Den ser helt normal ud, og grafen er defineret for x = 3. x = 3 lige her og den er defineret. f(x) er tydeligvis ikke defineret, når x = 3, fordi ved x = 3 er nævneren lig 0 og division med 0 er ikke defineret. Selvom den har en lodret asymptote et passende sted, så udelukker vi den fordi grafen er defineret ved x = 3, og det er f(x) ikke. Vi skal bruge enten en lodret asymptote eller en hævelig diskontinuitet. Okay, her har vi en lodret asymptote ved x = -2 og vi har en anden lodret asymptote ved x = 4. Det giver heller ikke mening. Ligesom den forrige, så er den defineret, når x = 3. Når x = 3 så er grafen ved 0, men f(3) er ikke lig 0. f(3) er ikke defineret, da vi så dividerer med 0. Den kan vi udelukke. Ved x = 3 skal vi se en hævelig diskontinuitet eller en lodret asymptote, da f(x) ikke er defineret i det punkt. Okay lad os se på mulighed C. Vi har en lodret asymptote ved x = -2. Det ser godt ud. Og vi har en hævelig diskontinuitet ved x = 3. Denne graf er ikke defineret når x = 3 eller når x = -2. Hvilket er godt, fordi f(x) er heller ikke defineret i disse punkter, da begge disse x-værdier gør nævneren i f lig 0. Den ser derfor god ud. Denne graf betyder at, f(x) har nævneren (x - 3)(x + 2) og og i tælleren skal, da x = 3 ikke er en lodret asymptote, men en hævelig diskontinuitet, skal g(x) kunne faktoriseres til (x - 3) gange noget andet. Det stemmer overens med den graf. Jeg kan lide denne mulighed. Lad os se på mulighed D. D har to lodrette asymptoter. En ved x = -1? Dette er -2, så dette er x = -1, Det er x = 6 Ingen af dem stemmer overens med det, der gør vores nævner lig 0, så vi kan også udelukke den. Vi kan være tilfredse med mulighed C.