Bevis for additionsformlen for cosinus

I forrige video beviste vi additionsformlen for sinus. Som du nok kan gætte, vil jeg i denne video bevise additionsformlen for cosinus, nærmere bestemt cos(x+y) = cos(x)∙cos(y) - sin(x)∙sin(y). Jeg vil gøre det på samme måde som for sinus. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause enten nu, eller når som helst du bliver inspireret til selv lave beviset. Ligesom for sinus, hvad er cos(x+y) i dette diagram? (x+y) er denne vinkel. Hvis vi ser på den retvinklet trekant ADF, så er cosinus hosliggende over hypotenuse. Linjestykke AF over hypotenusen. Da hypotenusen er 1, så bliver det AF divideret med 1, som er AF. cos(x+y) svarer til længden af linjestykket AF. Dette er det samme som det her. Lad mig skrive det. Længden af linjestykke AF er cos(x+y). Lad os tænke over, hvordan vi finder den? Jeg vil gribe det an ved at se på en anden retvinklet trekant i diagrammet. Hvis vi kan skrive AF på en anden måde. Længden af linjestykke AF, som er det samme som dette her, svarer til længden af linjestykke AB, som er hele dette stykke, minus længden af linjestykke FB, lige her. Ved at se, hvordan additionsformlen for cosinus ser ud, så kan du måske gætte, hvad AG er og hvad FB er. Hvis vi kan bevise, at AB er lig dette og hvis vi kan bevise, at FB lig det her, så er vi færdige. Fordi vi ved, at cos(x+y) som er AF er lig AB - FB. Lad os se, hvad disse ting svarer til. Hvad er AB? Lad os se på den retvinklet trekant ACB. Vi ved fra den forrige video, da trekant ADC har hypotenusen 1, så er AC er cos(x). Hvad er AB? AB er hosliggende til vinkel y. Vi kan derfor sige, at cos(y) er lig den hosliggende side, linjestykke AB over hypotenusen, som er cos(x). Vi ganger på begge sider med cox(x). Vi får, at linjestykke AB er lig cos(x)∙cos(y), som er præcis det vi vil vise. Vi har netop vist, at længden af linjestykke AB er lig cos(x)∙cos(y). Hele denne er lig cos(x)∙cos(y). Nu skal vi blot bevise, at linjestykke FB er lig sin(x)∙sin(y) Det ser måske lidt mærkeligt ud. Det er ikke en del af en retvinklet trekant, hvor vi kender nogle af vinklerne. Vi kan se, at ECBF er et rektangel. Vi brugte dette i beviset for additionsformlen for sinus. Vi kan også bruge det nu, da det viser, at FB er det samme som EC. Hvad er EC lig? Vi har vinkel y her. EC er den modstående side til vinkel y. Så vi skal bruge sinus. Vi ved, at sin(y) er lig længden af den modstående side, som er længden af EC over hypotenusen, som er sin(x). Det fandt vi ud af i den forrige video. Dette er vinkel x, så den modstående over hypotenusen er sin(x) over 1, som er sin(x). Vi ganger på begge sider med sin(x) og vi får det, vi skal bruge, EC er lig sin(x)∙sin(y). EC er præcis det samme som længden af linjestykke FB. Vi har lige vist, at linjestykke FB er lig sin(x)∙sin(y). cos(x+y) som er lig linjestykke AF, som er lig længden af linjestykke AB minus længden af linjestykke FB, som er lig, har vi lige vist, længden linjestykke AB, som er cos(x)∙cos(y), minus længden af linjestykke FB, som er sin(x)∙sin(y). Og vi er færdige.