Bevis for additionsformlen for sinus

I denne video håber jeg på, at bevise additionsformlen for sinus, altså bevise, at sin(x+y) = sin(x)∙cos(y) + cos(x)∙sin(y). Det vil jeg gøre ved at bruge dette diagram. Det har denne røde retvinklet trekant, der har en hypotenuse på 1. Grundlinjen i trekant ADC er stablet oven på hypotenusen af trekant ACB. Lad mig fremhæve trekant ACB med blåt, da jeg allerede har lavet vinkel y blå. AC er grundlinjen i trekant ADC og er hypotenusen i trekant ABC. De er oven op hinanden, sådan her. Jeg vil gribe beviset an således, hvad er sin(x + y)? x + y er hele denne vinkel her. Hvis vi ser på den retvinklet trekant ADF, så ved vi, at sinus til en vinkel er den modstående over hypotenusen. Hypotenusen er 1, så sinus til vinklen er den modstående over 1. sin(x+y) er derfor lig med længden af den modstående side, sin(x+y) er lig længden af linjestykke DF. Længden af linjestykke DF er faktisk det, vi er på jagt efter. Vi kan opdele længden af DF i to linjestykker. Vi kan opdele det til længderne af linjestykke DE og linjestykke EF. Vi kan sige, at DF, der er det samme som sin(x+y), er det samme som længden af linjestykke DE plus længden af linjestykke EF. Længden af EF er det samme som længden af CB. ECBF er et rektangel, så EF er det samme som CB. Heroppe bliver det derfor længden af linjestykke DE plus længden af linjestykke CB. Jeg har altså vist, at sin(x+y) er længden af DF og DF svarer til længderne af DE og CB. Med disse hints opfordrer jeg dig til, at bestemme længden af linjestykke DE med hensyn til x'er og y'er og sinus og cosinus og også bestemme længden af linjestykke CB med hensyn til x'er og y'er og sinus og cosinus. Prøv at lave så meget som du kan og måske du pludselig har fundet DE og CB. Jeg antager, du selv har prøvet. Nu da vi ved, at sin(x+y) kan udtrykkes således, lad os se, om vi kan bestemme disse to. Jeg vil tackle det ved at bestemme så mange længder og vinkler, som jeg kan. Lad os se på den øverste røde trekant. Dens hypotenuse har længden 1, men hvad er længden af linjestykke DC? Det er den modstående side til vinkel x, så sin(x) er lig DC/1. DC/1 er blot DC, så denne længde er sin(x). Linjestykke AC, samme logik. cos(x) er længde af AC over 1, som blot er længden af AC. Længden af linjestykke AC er cos(x). Det er da lidt interessant. Lad os se, hvad vi kan finde ud af om trekant ACB. Hvordan bestemmer vi CB? Hvad er sin(y) ? Det er længden af linjestykke CB over hypotenusen. Hypotensen er cos(x) og jeg tror du kan se, hvor det bærer hen. Du kan til enhver tid, når du bliver begejstret, sætte videoen på pause og lave beviset færdig selv. Længden af linjestykke CB, der ganger vi på begge sider med cos(x). Længden af linjestykke CB er cos(x)∙sin(y). Som er temmelig sejt, da vi lige har vist, at den her er lig denne her. For at færdiggøre beviset skal vi blot vise, at dette er lig det her. Hvis den er lig den og den er lig den, så ved vi allerede at summen af dem er længden af DF, som er sin(x+y). Lad os se, om vi kan udtrykke DE på en eller anden måde. Hvilken vinkel kan vi bruge? Lad os se, om vi kan finde denne vinkel. Så kan vi måske udtrykke DE med den vinkel og sin(x). Lad os se, om vi kan bestemme den vinkel. Vi ved, at dette er vinkel y. Vi ved også, at dette er en ret vinkel, så EC er parallel med AB, så AC er en slags transversal. Når vinkel y er her, så ved vi, at dette også er vinkel y. Hvis AC er en transversal og EC og AB er parallele, så er det y og den er y. Hvis den er y, så er den her 90-y. Hvis den her er 90 og den her er 90-y, så er summen af disse to vinkler 180 - y. Da alle tre vinkler er 180, så denne her må være y. Tjek det y + (90 - y) + 90 er 180. Det er godt, fordi nu kan vi udtrykke linjestykke DE med y og sin(x). Hvad er DE til y? Den er hosliggende, så vi skal bruge cosinus. Vi ved, at cos(y), her i trekant DEC, er linjestykke DE over hypotenusen, over sin(x). Du bør være begejstret nu, fordi når vi ganger på begge sider med sin(x), så har vi lige vist, at DE er lig sin(x)∙cos(y). Nu har vi vist, at dette er lig det her. Vi har allerede vist, at CB er lig dette. Summen af DE og CB, som er det samme som summen af DE og DF, er sin(x+y) som er dette her. Vi er færdige. Vi har bevist additionsformlen for sinus.