Bevis for additionsformler for tangens

I denne video antager jeg, at du allerede ved nogle ting, som vi har bevist i andre videoer. sin(x+y) = sin(x)∙cos(y) + -- du bytter nu rundt på cosinus og sinus -- cos(x)∙sin(y). cos(x+y) = cos(x)∙cos(y) - sin(x)∙sin(y). Det har vi bevist i andre videoer. Ligeledes er der nogle overgangsformler vi har bevist i andre videoer. cos(-x) = cos(x) og sin(-x) = -sin(x). Og naturligvis ved vi, at tangens af noget er defineret som sinus over cosinus af dette noget. Nu vil jeg lave en formel for tan(x+y) udtrykt kun med tan(x) og tan(y). Det samme som disse formler heroppe for sinus og cosinus. Du tænker måske med det samme, at tan(x+y) ud fra definitionen af tangens er det samme som sin(x+y)/cos(x+y). Og hvad er det lig med? Vi ved, at sin(x+y) kan skrives således. Lad mig skrive det. Det bliver sin(x)∙cos(y) + cos(x)∙sin(y). Nu laver jeg lige linjen lidt længere nede da vi skriver noget andet lige om lidt. Alt dette over cos(x+y), som er dette udtryk, hvor det er udtrykt med cos(x), cos(y), sin(x) og sin(y). Lad mig skrive det her. Du får cos(x)∙cos(y) - sin(x)∙sin(y). Vi vil udtrykke det som tangens til x'er og y'er. Da vi ved, at tangens er sinus/cosinus, giver det måske mening, at dividere både tæller og nævner med et udtryk, der kan begynde at omskrive tæller og nævner, så de er udtrykt med tangens. Jeg går straks i gang, så i tælleren -- jeg gør det først i tælleren og så gør jeg det i nævneren -- i tælleren dividerer jeg med cos(x)∙cos(y). Jeg kan ikke kun dividere i tælleren med cos(x)∙cos(y), da jeg så ændrer værdien af dette udtryk. Jeg skal også gøre det i nævneren. Jeg ved det er en indviklet brøk, men den bliver reduceret om lidt. Jeg dividerer også i nævneren med cos(x)∙cos(y) Lad os reducere det på en eller anden måde. I tælleren går dette cos(y) ud med dette cos(y). Det første led bliver sin(x)/cos(x). I tælleren får vi sin(x)/cos(x), som er lig tan(x). I det andet led går cos(x) ud med cos(x). Tilbage har vi sin(y)/(cos(y), som naturligvis er tan(y). så + tan(y). Alt dette bliver over -- lad os se på nævneren -- I det første led går cos(x) ud med cos(x) og cos(y) går ud med cos(y). Det første led, når du dividerer med cos(x)∙cos(y) er 1. Så har vi et minus. Det andet led er interessant. Vi har sin(x) over cos(x) og sin(y) over cos(y). sin(x) over cos(x) er tan(x) og sin(y) over cos(y) er tan(y). Dette bliver tan(x)tan(y). Sådan nu har vi skrevet et udtryk for tan(x+y), som kun har tangens af x'er og y'er. Nu spørger du så måske, det er fint med tan(x+y), men hvad med tan(x-y)? Lad os lige kigge på det vi allerede ved. Lad mig skrive det her. tan(-x) er lig sin(-x)/cos(-x). Hvad er det lig med? Jeg er ved, at løse tør for plads. sin(-x) er det samme som -sin(x) og cos(-x) er blot cos(x). Dette er blot -tan(x). Grunden til at det er nyttigt er, fordi jeg nu kan skrive, at tan(x+ (-y)). Hvor der står y, der skriver vi nu -y. Dette bliver lig tan(x) + tan(-y) over 1 - tan(x)tan(-y). Vi ved, at tan(-y) = -tan(y). Det er det også her. Vi kan blot skrive tan(y) og dette minus bliver et plus. Nu kan vi skrive det pænt. Vi ved, at tan(x-y) = tan(x) - tan(y) over 1 + tan(x)∙tan(y).