Introduktion til ligninger med en kvadratrod & falske løsninger

I denne video skal vi få noget erfaring med at løse ligninger med rodudtryk, altså ligninger med kvadratrødder eller rodudtryk af en højere grad. Men vi skal også forsøge at forstå et spændende fænomen, som opstår når vi løser disse ligninger. Lad mig vise dig, hvad jeg mener. Vi har ligningen kvadratroden af x er lig 2x - 6. En af de ting vi gør ved ligninger med rodudtryk er at vi forsøger at isolere et af dem. Der er kun et i denne ligning. Du isolerer rodudtrykket på den ene side af ligningen. Her er rodudtrykket allerede isoleret. Vi har kvadratroden af x på venstre side og så kvadrerer vi på begge sider af ligning. Lad os kvadrere på begge sider af ligningen. Jeg skriver det lige, da vi går langsomt fremad. Jeg kvadrerer dette og her det bliver (2x - 6)². Kvadrering er en tilladt operation. Hvis dette er lig med dette, så bør kvadratet på dette også være lig kvadratet på dette. Vi fortsætter. Når du kvadrerer kvadratroden af x, så får du blot x. Nu har vi x er lig (2x)², som er 4x², og vi ganger disse to, som er -12x, og så det dobbelte produkt, så -24x. -6² er lig +36. Hvis du syntes det var svært at komme fra her til der, så bør du måske se nogle videoer om at gange polynomier eller om multiplikation af to-leddet størrelser og kvadratsætningerne. Men når dette kvadreres, så får du det dobbelte produkt af disse to. Produktet af disse to er -12x og 2 gange det er -24x. Det er hvad ligningen reduceres til. Lad os nu trække x fra på begge sider. Når du trækker x fra på begge sider, så får du 0 på venstre side og på højre side har du 4x² - 25x + 36. Denne ligning er nu omskrevet til en andengradsligning på standard form. For at gøre det nemmere, så kan vi undlade at faktorisere eller gruppere og blot bruge løsningsformlen. Løsningsformlen siger, at løsningerne til denne ligning er at x kan være -b, det negative af -25 er +25. +/- kvadratroden af (-25)², 25² er 625 minus 4 gange a, som er 4, gange c, som er 36. Alt dette over 2 gange 4, altså 8. Lad os hente lommeregneren og finde ud af, hvad det bliver. Vi har 625 minus (16 gange 36). 16 gange 36 er 576, så det bliver 49. Dejligt. Et kvadrattal. Vi ved, hvad kvadratroden af 49 er, den er 7. -- Lad mig gå tilbage til opgaven -- Dette er reduceret til 49. x er lig 25 +/- 7 over 8. Når vi lægger 7 til, så er x lig 25 + 7, som er 32, over 8, altså 4. Jeg laver den anden løsning i en anden farve. x er lig 25 - 7, som er 18, over 8. 8 går op i 18 to gange med en rest på 2, så dette er lig 2 og 2/8 eller 2 og 1/4 eller lig 2,25. Nu vil jeg vise dig et interessant fænomen, der opstår. Du får måske lyst til at sætte videoen på pause, når jeg har vist dig denne underfundighed, selv når jeg viser, hvorfor den opstår. Lad os se om vores løsninger virker. Lad os tjekke x er lig 4. Når x er lig 4, så får vi kvadratroden af 4 er lig 2 gange 4 minus 6. Kvadratroden af 4 er 2. 2 er lig 2 gange 4, som er 8, minus 6, altså 2. Så det passer. Dette er sandt. 4 virker. Lad os nu prøve med 2,25. Vi skal tage kvadratroden af 2,25 som er lig (2 gange 2,25) minus 6. Du kan muligvis gøre dette i hovedet. Du ved muligvis, at kvadratroden af 225 er 15 og kan derfor udlede, at kvadratroden af 2,25 er 1,5. Men lad mig bruge en lommeregner for at tjekke det. Kvadratroden af 2,25. Den er 1,5. Det er den positive rod. Der er også den negative rod. 1,5 er lig 2 gange 2,25, som er 4,5, minus 6 Er det sandt? Der står 1,5 er lig -1,5. Det er ikke sandt. 2,25 virker ikke i denne ligning. Vi kalder det for en falsk løsning. 2,25 er en falsk løsning. Her er så det interessante, hvorfor fik vi 2,25 som et svar? Det ser da ud til, at vi lavede tilladte operationer hele vejen ned og endte med en andengradsligning og fik 2,25. Men her er et hint. Når vi indsætter 2,25, så får vi 1,5 er lig -1,5. Der er altså noget af det vi gjorde, der giver os denne løsning, der ikke helt virker. Jeg vil give dig endnu et hint. Lad os se på dette trin. Når du tjekker dette trin, så virker begger løsninger. Du kan selv tjekke, hvis du vil. Indsæt 2,25 i stedet for x, og du vil se at det virker. Indsæt 4 i stedet for x og det virker. De er begge løsninger. Der skete altså noget, da vi kvadrerede, der gjorde ligningen lidt anderledes. Denne ligning er en smule anderledes end denne ligning. Du kan anskue dette på to måder. For at gå tilbage fra denne ligning til denne ligning, så tager vi kvadratroden. Helt præcist, så tager vi den positive kvadratrod på begge sider. Du kan også tage den negative kvadratrod. Men her tager vi kun den positive kvadratrod. Lad mig lige gøre det mere tydeligt. Vi har allerede set, at begge løsninger er løsninger til dette udsagn. Kun den rigtige løsning opfylder den oprindelige ligning. Lad mig skrive ligningen, som de begge opfylder igen. Dette er en spændende gåde. Det vil give dig en bedre fornemmelse af, hvad er sker, når vi tager den positive kvadratrod af noget. Samt hvorfor, når du kvadrerer begge sider du bør huske, at du mister noget information. Dette kan skrives som x er lig (2x - 6)². Det er en fortolkning af denne ligning. Men der er en anden fortolkning af den samme ligning. Den kan også skrives som x er lig (-1(2x - 6))². Hvorfor er disse fortolkninger lige gode? Når du kvadrerer -1, så forsvinder det negative fortegn. Disse ligninger er tilsvarende. En anden måde at skrive den her på er x er lig -- ganger -1 ind i parentes -- (-2x + 6)² eller (6 - 2x)². Dette og dette er to måder at skrive det samme. Når vi kvadrerer, så antager vi, at dette er den eneste fortolkning, men der er også den anden. Vi fik to løsninger, men kun 4 opfylder den første fortolkning. Jeg håber, du kan følge med. Vi bruger kun den positive kvadratrod og ikke den negative. Når vi går baglæns bruger vi kun den positive kvadratrod. Lad mig skrive den oprindelige ligning igen. Vi havde kvadratroden af x er lig 2x - 6. Vi fandt ud af, at 4 er en løsning, men 2,25 er ikke en løsning. 2,25 ville have været en løsning, hvis vi havde skrevet begge kvadratrødder af x er lig 2x - 6. Når du løser den, så er 2,25 en løsning. Den negative kvadratrod af 2,25 er lig 2 gange 2,25, som er 4,5, minus 6, altså -1,5. Det er sandt. Den positive version er den, hvor x er lig 4. Det er derfor vi får to løsninger. Når du kvadrerer denne på begge sider. så får du denne ligning, hvor begge løsninger virker. Du synes måske, det hele er en smule forvirrende. Det er ikke meningen. Det nemmeste at gøre, når du løser ligninger med rodudtryk er at isolere rodudtrykket, kvadrere og fortsætte med at løse. Du får måske mere end et svar. Indsæt svarene. De svar, der ikke virker, er falske løsninger. Det meste af min forklaring her er om, hvorfor falske løsninger opstår. Forhåbentlig kan du nu se, at i vores ligning er der kvadratroden af x. Den falske løsning virker, hvis vi bruger den positive og negative kvadratrod af x og ikke kun den positive.