Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 9

Modul 2: Konstruktion af aritmetiske talfølger

Eksplicitte formler for aritmetiske talfølger

Lær at finde eksplicitte formler for aritmetiske talfølger. Find f.eks. en eksplicit formel for talfølgen 3, 5, 7...

Før du følger denne lektion, så sørg for, at du er fortrolig med det grundlæggende omkring formler for aritmetiske talfølger.

Hvordan eksplicitte formler fungerer

Her er en eksplicit formel for talfølgen

3, 5, 7, …

$a (n) = 3 + 2 (n - 1)$ ‍

I formlen er

n

ethvert led, og

a (n)

er værdien af det

n^{}

. led.

Med denne formel kan vi simpelthen bare indsætte nummeret på leddet, som vi er interesserede i, og vi får værdien af dette led.

For eksempel, for at bestemme det femte led skal vi indsætte

n = 5

i den eksplicitte formel.

$\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}$ ‍

Cool! Dette er faktisk det femte led i

3, 5, 7, …

Tjek din forståelse

1) Find $b (10)$ ‍ i talfølgen givet ved $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

Opstilling af eksplicitte formler

Betragt den aritmetisk talfølge

5, 8, 11, …

Det første led i talfølgen er

5

, og differensen er

3

Vi kan få ethvert led i talfølgen ved at tage det første led

5

og lægge differensen

3

til det gentagne gange. Tjek for eksempel nedenstående beregninger af de første led.

$n$ ‍	Udregning af det $n^{}$ ‍. led
$1$ ‍	$5$ ‍	$= 5 + 0 \cdot 3 = 5$ ‍
$2$ ‍	$5 + 3$ ‍	$= 5 + 1 \cdot 3 = 8$ ‍
$3$ ‍	$5 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 2 \cdot 3 = 11$ ‍
$4$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 3 \cdot 3 = 14$ ‍
$5$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 4 \cdot 3 = 17$ ‍

Tabellen viser, at vi kan finde det

n .

led (hvor

n

er ethvert led) ved at tage det første led

5

og lægge differensen

3

til

n - 1

gange. Dette kan skrives algebraisk som

5 + 3 (n - 1)

Generelt er dette den eksplicitte standardform for aritmetiske talfølger, hvis første led er $A$ ‍, og differensen er $B$ ‍:

$A + B (n - 1)$ ‍

Tjek din forståelse

2) Skriv en eksplicit formel for talfølgen $2, 9, 16, …$ ‍.

d (n) =

3) Skriv en eksplicit formel for talfølgen $9, 5, 1, …$ ‍.

e (n) =

4) Den eksplicitte formel for talfølgen er

f (n) = - 6 + 2 (n - 1)

Hvad er det første led i talfølgen?

Hvad er differensen?

Ækvivalente eksplicitte formler

Eksplicitte formler kan have mange former.

For eksempel, de følgende er alle eksplicitte formler for talfølgen

3, 5, 7, …

$3 + 2 (n - 1)$ ‍ (dette er standardformlen)
$1 + 2 n$ ‍
$5 + 2 (n - 2)$ ‍

Formlerne ser måske forskellige ud, men det vigtigste er, at vi kan indsætte en

n

-værdi og få det korrekte

n^{}

. led (prøv selv og se, om de andre formler er korrekte!).

Forskellige eksplicitte formler, der beskriver den samme talfølge, kaldes ækvivalente formler.

En typisk misforståelse

En aritmetisk talfølge kan have forskellige ækvivalente formler, men det er vigtigt at huske på, at kun standardformlen giver os det første led og differensen.

For eksempel har talfølgen

2, 8, 14, …

et første led på

2

og en differens på

6

Den eksplicitte formel

2 + 6 (n - 1)

beskriver denne talfølge, men den eksplicitte formel

2 + 6 n

beskriver en anden talfølge.

$n$ ‍	$2 + 6 (n - 1)$ ‍	$2 + 6 n$ ‍
$1$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
$2$ ‍	$8$ ‍	$14$ ‍
$3$ ‍	$14$ ‍	$20$ ‍

Ifølge tabellen kan vi se, at formlen

2 + 6 (n - 1)

beskriver talfølgen

2, 8, 14, …

mens formlen

2 + 6 n

beskriver talfølgen

8, 14, 20 …

For at omskrive formlen

1 + 6 (n - 1)

til en ækvivalent formel

A + B n

, kan vi gange ind i parentesen og reducere:

$\begin{aligned} 2 + 6 (n - 1) \\ = 2 + 6 n - 6 \\ = - 4 + 6 n \end{aligned}$ ‍

Nogle folk foretrækker måske formlen

- 4 + 6 n

i stedet for den ækvivalente formel

2 + 6 (n - 1)

, fordi den er kortere. Fordelen ved den længere formel er, at den giver os det første led.

Tjek din forståelse

5) Find alle korrekte eksplicitte formler for talfølgen $12, 7, 2, …$ ‍

Udfordrende opgaver

6*) Find det $124$ ‍. led for den aritmetiske talfølge $199, 196, 193, …$ ‍

For at besvare dette vil vi først bestemme den eksplicitte formel for talfølgen.

Når vi har den eksplicitte formel, vi kan indsætte

n = 124

i denne formel til at finde svaret.

Det første led er $199$ ‍
Differensen er $- 3$ ‍

Den korrekte eksplicitte formel er derfor

g (n) = 199 - 3 (n - 1)

Nu indsætter vi

n = 124

i formlen.

$\begin{aligned} g (124) & = 199 - 3 (124 - 1) \\ = 199 - 3 \cdot 123 \\ = 199 - 369 \\ = - 170 \end{aligned}$ ‍

Det $124$ ‍. led i talfølgen er $- 170$ ‍.

7*) Det første led i en aritmetisk talfølge er

5

, og det tiende led er

59

Hvad er differensen?

Lad os repræsenterer differensen med

B

Det første led er $5$ ‍
Differensen er $B$ ‍

En eksplicit formel for talfølgen er derfor

h (n) = 5 + B (n - 1)

Vi får også givet, at

h (10) = 59

. Vi kan indsætte dette i formlen for at få en ligning, hvor den eneste ukendte er

B

\begin{aligned} h (n) & = 5 + B (n - 1) \\ 59 & = 5 + B (10 - 1) & Indsæt h (10) = 59 \\ 54 & = 9 B \\ 6 & = B \end{aligned}

Den eksplicitte formel af talfølgen er derfor

5 + 6 (n - 1)

, og differensen er $6$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.