Bevis for SVS kongruens i trekanter ved hjælp af flytninger

I denne video skal vi se på den situation, hvor vi har to forskellige trekanter med to par af tilsvarende sider, der har samme længde, den blå side har samme længde som denne blå side og den orange side har samme længde som denne orange side her. Og vinklen mellem de to sider har samme vinkelmål. Vi har altså side, vinkel, side og side vinkel side. Når de har de samme længder og vinkelmål, så kan vi udlede, at de to trekanter er kongruente med definitionen for kongruens med stive flytninger. Eller man kan sige, når vi har en side, en vinkel og en side til fælles og vinklen ligger mellem de to sider, så er de to trekanter kongruente. For at bevise det, altså for at kunne udlede det så skal vi vise, at der altid er et forløb af stive transformationer, når vi har side vinkel side til fælles, der kan flytte den ene trekant over i den anden. Hvis der er et forløb af stive transformationer der kan det, så vil trekanterne per definitionen for kongruens med stive transformationer være kongruente. Lad os huske på det vi gjorde, da vi havde to linjestykker med samme længde, som linjestykke AB og linjestykke DE. Når vi har to linjestykker med samme længde, så er de kongruente. Du kan altid flytte det ene over i det andet med et forløb af stive transformationer. Lad os her flytte punkt B over i punkt E. Nu skriver jeg B' her ved E. Når vi har lavet en parallelforskydning, der gør det, så vil side BA, den orange side være her. Dernæst kan vi lave endnu en stiv transformation, en drejning omkring punkt E eller B'. der drejer den orange side og hele trekanten over i DE. Når vi her har lavet den anden transformation, så vil punkt A ligge i punkt D. Eller vi kan sige at punkt A' ligger i punkt D. Men hvor er punkt C? Vi kan bruge vores passer. Afstanden mellem A og C er her. Da alle stive transformationer bevarer afstand, så ved vi, at C', det punkt punkt C er flyttet over i efter de to første transformationer, har den samme afstand til A'. C' ligger derfor et eller andet sted på denne cirkelbue. Vi ved også, at stive transformationer bevarer vinkelmål. Efter disse flytninger vil vinklerne være bevaret. Side AC vil derfor enten være flyttet over på denne side og i så fald er F lige med C' og vi har lavet et forløb af stive transformationer, der viser, at med SAS er de to trekanter kongruente. Den anden mulighed, der også bevarer vinkelmålet, er at side AC ligger hernede. Efter de første stive transformationer kan side AC ligge hernede. Det ser nogenlunde således ud. I så fald ligger C' lige her. I så fald skal vi kun lave endnu en stiv transformation. Vi kan lave en spejling over DE eller A'B', der vil spejle C' hen over aksen og herop. Hvordan ved vi at C' flyttes over i F? Denne vinkel bevares ved en stiv transformation. Når vi vender det hele over DE under spejlingen, så bevares vinklen. A'C' bliver flyttet over i DF. Og vi er færdige. Vi har vist, at der altid er et forløb af stive transformationer, når blot du opfylder betingelsen for SAS, der kan flytte den ene trekant over i en anden. Og derfor er de kongruente.