Bevis for SSS kongruens i trekanter ved hjælp af stive flytninger

I denne video skal vi bevise, når vi har to forskellige trekanter, hvor de tilsvarende sider har samme størrelse, så den orange side har samme længde som denne orange side, den blå side har samme længde som denne blå side den grå side har samme længde som denne grå side, så kan vi udlede at de to trekanter er kongruente med hinanden i følge definitionen for kongruens med stive transformationer. Det kan vi bevise ved at vise, at der altid er et forløb af stive transformationer der kan flytte trekant ABC over i trekant EDF. Hvordan gør vi det? I andre videoer har vi vist, når to linjestykker har samme længde, så er de kongruente. Du kan flytte det ene over i det andet ved at bruge stive transformationer. Lad os derfor lave et forløb af stive transformationer der flytter AB over i ED. Det kan du gøre ved at parallelforskyde hele den venstre trekant, så punkt A ligger i punkt E. Side AB vil så ligge her over et sted. Men du vil dernæst dreje trekanten omkring A' -- du kalder nu dette A' -- dreje den så side AB ligger i side ED. Det har vi snakket om i andre videoer. Punkt D svarer nu til punkt B'. Det punkt B er flyttet over i. Men hvor er punkt C? Hvis vi med sikkerhed ved, at C ligger i punkt F eller hvis vi med endnu en stiv transformation kan flytte C over i punkt F, så har vi færdiggjort vores bevis. Vi vil have bevist, at et forløb af stive transformationer kan flytte denne trekant over i den trekant. For at finde ud af, hvor punkt C er, så skal vi bruge denne passer. Vi ved, at punkt C har præcis denne afstand til punkt A. Jeg måler med min passer. Punkt C ligger præcis så langt fra punkt A. Det betyder, at punkt C ligger et eller andet sted på denne cirkelbue. Det er nogle af de punkter, der har den afstand til A. Jeg kunne lave hele cirklen, men du kan se, hvor det bær hen. Punkt C eller punkt C' er flyttet, så det ligger et sted på denne bue, hvis vi har punkt A som udgangspunkt, da det svarer til afstanden mellem C og A. Vi ved også, hvor langt C ligger fra B. Lad mig lige justere min passer. C har denne afstand til B. B er flyttet til dette punkt B', derfor ligger C', hvor C er flyttet hen, et eller andet sted langs denne cirkelbue, De to buer begrænser, hvor kan C' ligge, da det skal ligge på begge disse buer. Det vil enten ligge, hvor punkt F er... Hvis de stive transformationer har flyttet punkt C over i punkt F, så er vores bevis færdigt. Vi har lavet et forløb af stive transformationer. Den anden mulighed er, at C' ligger her. Hvilken stiv transformation kan vi lave, der flytter C' over i F? Husk, de to andre punkter er allerede flyttet over i E og D. Vi mangler kun at flytte C over i F. Vi ved, at punkt E ligge lige langt fra C' og F. Vi kan putte tre streger her. De svarer begge til radius af denne cirkel. Vi ved, at punkt C' har samme afstand til D, som F har. Lad os lave en linje -- jeg hente lige min lineal, så et bliver lidt pænere -- der forbinder F og C'. Husk, det er det tilfælde, hvor C' ikke allerede ligger i F, men C' ligger på den side, om man så må sige. Da punkt E har samme afstand til C' og F, så må det ligge på den vinkelrette halveringslinje til linjestykke FC. Det samme gælder for punkt D eller punkt B'. DE må være den vinkelrette halveringslinje. D har samme afstand til F og C'. E har samme afstand til F og C'. Det sæt af punkter med samme afstand til F og C' danner den vinkelrette halveringslinje til FC'. Den orange linjer derfor den vinkelrette halveringslinje til FC'. Hvorfor hjælper det? Efter de første transformationer, der flyttede AB og i EF, hvis C' ikke er flyttet over i F, men ligger hernede, så mangler vi kun en transformation. Vi mangler en spejling i ED eller A'B', i den orange linje, hvorefter C' vil ligge i F, da den orange linje er den vinkelrette halveringslinje. Lad mig vise, at den længde er den samme som denne længde. Når du spejler i den vinkelrette halveringslinje, så vil C' ligge i F. En spejling er en stiv transformation, og er derfor tilladt.