Sammenhængen mellem potenser og logaritmer: grafer

De tre punkter afbildet nedenfor ligger på grafen for y er lig b opløftet til x. Brug disse tre punkter til at afbilde de tilsvarende punkter på grafen for y er lig b-tals- logaritmen til x. ved at klikke på grafen. Jeg har kopieret og indsat denne opgave på min lille scratchpad, så jeg kan skrive på den. Hvad er den første funktion? Her har vi x og her har vi y er lig b opløftet til x. Når x er lig 0, så er y lig 1. Det er det punkt lige her. Når x er lig 1, så er b opløftet til 1 lig 4. y er lig 4. Eller vi kan sige y eller 4 er lig b opløftet til 1, så vi kan udlede, at b er lig 4. Det er dette punkt lige her. Dette punkt siger, at b opløftet til 2 er lig 16. Når x er lig 2, b opløftet til 2, så er y lig 16. Nu skal vi afbilde de tre tilsvarende punkter for denne funktion. Lad mig lave endnu en tabel. Det er faktisk den inverse funktion. Dette er x og vi skal udregne y er lig b-tals-logaritmen til x. Hvad skal vi gøre her? Lad os tage disse værdier. De er inverse funktioner. Logaritmer er det inverse til potenser. Vi tager punkterne 1, 4 og 16. Hvad bliver y, når x er 1? y er lig logatimen med grundtal b til 1. Hvilken potens skal b opløftes til for at blive 1? Vi antager, at b ikke er 0 og det er en fornuftig antagelse, da b opløftet til forskellige potenser ikke er 0. Dette bliver 0. For alle b forskellig fra 0. Vi har punkt (1,0), Det er dette punkt her. Bemærk, at dette punkt svarer til det punkt. Vi har faktisk blot byttet rundt på x'et og y'et. Det gælder generelt, når du tager den inverse, så spejler du over linjen y er lig x. Dette er tydeligvis en spejling i linjen. Når x er 4, hvad er logaritmen med grundtal b til 4? Hvilken potens skal b opløftes til for at blive 4? Det kan vi se her. b opløftet til 1 er 4. Det fandt vi allerede ud af, da jeg tog b opløftet til 1 er 4. Denne her bliver 1. Når x er lig 4, så er y lig 1. Bemærk igen, det er en spejling i linjen y er lig x. Når x er 16, så er y lig b-tals-logaritmen til 16. Den potens b skal opløftes til for at blive 16? Det ved vi allerede. Hvis vi opløfter b til 2, så får vi 16. Dette er 2. Når x er lig 16, så er y lig 2. Bemærk, hvordan vi byttede rundt på x og y værdierne for hvert af disse punkter. Det er en spejling i linjen y er lig x. Lad os gøre det på den rigtige graf. Så du bedre kan værdsætte, at det er inverse funktioner. Lad os afbilde punkterne. Dette punkt svarer til dette punkt. så x er 0 og y er 1 svarer til x er 1 og y er 0. Og x er 1 og y er 4, svarer til x er 4 og y er 1. Og x er 2 og y er 16, svarer til x er 16 og y er 2. Det var rigtigt.