Bevis for restsætningen for polynomier

Lad os lave et bevis for restsætningen for polynomier. For at gøre beviset mere håndgribeligt, så starter jeg med det eksempel, som vi så i videoen, der introducerede restsætningen. Her så vi, 3x² - 4x + 7 divideret med x - 1, er lig 3x - 1 og en rest på 6. Når vi laver lang division med polynomier, hvornår er vi nået til resten? Når vi har et udtryk med en lavere grad end divisoren, den ting, der divideres med. I dette eksempel kan vi omskrive, det vi lige gjorde som -- Lad mig lige skrive det her -- 3x² - 4x + 7 er lig med x - 1 gange kvotienten, eller kvotienten gange x - 1. Altså lig med 3x - 1 gange divisoren x - 1. Når du ganger disse to, så får du ikke dette, du skal lægge resten til. Så plus resten. Lad mig skrive resten + 6. Du kan sammenligne det med almindelig lang division. Lad mig lave en sammenligning. Hvis vi har 25 divideret med 4, så siger du 4 går op i 25 6 gange, 6 gange 4 er 24. Du trækker fra og får en rest på 1. Eller du kan sige 25 er lig med 6 gange 4 plus 1. Det er præcis det samme, som vi lige gjorde med udtrykkene. Jeg er ikke begyndt på beviset endnu, Jeg vil helst have, du har tjek på dette her først. Hvis jeg dividerer dette udtryk op i dette polynomium, og jeg får denne kvotient så er det det samme som at sige dette polynomium er lig med (3x - 1) (x - 1) + 6. Det gælder generelt, så lad os skrive det generelt. Dette er f(x). f(x) er lig med denne kvotient, som vi kalder q(x) -- jeg mig bruge en anden farve -- Dette er q(x). f(x) er lig med kvotienten q(x) gange x - 1 svarer til x - a, så a er her 1, men jeg skriver det generelt. (x - a) plus resten. Vi ved, resten er en konstant, da resten skal have en lavere grad end x - a. x - a er af første grad, så for at have en lavere grad, må det være i nulte grad. Så en konstant. Dette er sandt generelt. Dette er sandt for ethvert polynomium f(x) divideret med ethvert (x - a). Dette er sandt. Dette er sandt for alle f(x) og (x - a). Hvad sker der, hvis vi udregner f(a)? Da f(x) kan skrives således, så kan vi skrive f(a) -- i en nye farve -- vi kan skrive f(a) som lig med q(a) gange -- jeg tror du kan se hvor det bærer hen -- gange (a - a) + r, for resten. Hvad er det lig med? Hvad er alt dette halløj lig med? a - a er 0. Jeg er ligeglad med, hvad q(a) er, når du ganger det med 0, så bliver det hele alligevel 0. f(a) er lig med r Og vi er færdige. Dette er beviset for restsætningen for polynomier. Enhver funktion som divideres med x - a giver kvotienten q(x) og resten r, som kan skrives sådan. Hvis det skrives sådan og du udregner f(a), så du indsætter a her, så kan du se, at f(a) er lig med resten, hvad end den er. Det er restsætningen for polynomier. Og vi er færdige. Et af de mere enkle beviser for noget der syntes så mystisk.