Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 9

Modul 3: Funktioners symmetri

Symmetri i polynomier

Lær at afgøre, om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

En funktion er en lige funktion, hvis dens graf er symmetrisk omkring

y

-aksen.

Algebraisk er

f

en lige funktion, hvis

f (- x) = f (x)

for alle

x

-værdier i funktionens definitionsmængde.

En funktion er en ulige funktion, hvis dens graf er symmetrisk omkring origo.

Algebraisk er

f

en ulige funktion, hvis

f (- x) = - f (x)

for alle

x

-værdier i funktionens definitionsmængde.

Hvis dette er nyt for dig, så tjek Introduktion til symmetri i funktioner.

Hvad du kan lære i dette modul

I dette modul skal vi se nærmere på, hvordan man bestemmer om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene ud fra polynomiets forskrift.

Symmetri af ét-leddede størrelser

En ét-leddet størrelse er et polynomium med kun ét led. Èt-leddede størrelser kan skrives på formen

f (x) = a x^{n}

, hvor

a

er et reelt tal og

n

er et heltal større end eller lig med

0

Lad os se nærmere på, hvilken typer af symmetri ét-leddede størrelser kan have samt opstille nogle generelle betingelser for hvornår en ét-leddet størrelse er lige eller ulige.

Når vi skal afgøre om en funktion

f

er lige, ulige eller ingen af delene, så ser vi nærmere på udtrykket for

f (- x)

Hvis $f (- x)$ ‍ er det samme som $f (x)$ ‍, så er funktionen $f$ ‍ lige.
Hvis $f (- x)$ ‍ er det modsatte af $f (x)$ ‍, så er funktionen $f$ ‍ ulige.
I alle andre tilfælde er funktionen hverken lige eller ulige.

Lad os afgøre om

f (x) = 4 x^{3}

er lige, ulige eller ingen af delene.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & reducering \\ = - f (x) & da f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

f (- x) = - f (x)

, så

f

er en ulige funktion.

Løs følgende opgaver, og se om du kan finde et mønster.

1) Er $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ lige, ulige eller ingen af delene?

2) Er $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ lige, ulige eller ingen af delene?

Hvad kan vi konkludere?

Fra ovenstående eksempler kan vi se, når en ét-leddet størrelse har en lige grad, så er dens funktion en lige funktion. Ligeledes, når en ét-leddet størrelse har en ulige grad, så er dens funktion en ulige funktion.

	Lige funktion	Ulige funktion
Eksempel	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Generelt	$f (x) = a x^{n}$ ‍, hvor $n$ ‍ er $lige$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍, hvor $n$ ‍ er $ulige$ ‍

Denne sammenhæng giver mening, da

(- x)^{n} = x^{n}

, når

n

er lige og

(- x)^{n} = - x^{n}

, når

n

er ulige.

Det er sikkert deraf lige og ulige funktioner har fået deres navn!

Symmetri af polynomier

Lad os fortsætte og kigge på polynomier med mere end ét led.

Eksempel 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Når vi skal afgøre om

f

er lige, ulige eller ingen af delene, så ser vi nærmere på

f (- x)

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n}, når n er lige \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & reducering \\ = f (x) & da f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

f (- x) = f (x)

, så er

f

en lige funktion.

Bemærk, alle led i forskriften for

f

har en lige grad.

Eksempel 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Lad os opstille et udtryk for

g (- x)

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n}, når n er ulige \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & reducering \end{aligned}

Hvert led i

g (- x)

er det modsatte af hvert tilsvarende led i

g (x)

. Derfor er

g (- x) = - g (x)

, og funktionen

g

er en ulige funktion.

Bemærk, alle led i forskriften for

g

er af en ulige grad.

Eksempel 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Lad os opstille et udtryk for

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} og (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & reducering \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

er hverken det samme som

h (x)

eller det modsatte af

h (x)

Det kan vi skrive mere matematisk som,

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

. Derfor er

h

hverken en lige eller ulige funktion.

Bemærk, der er både et led med en lige grad og et led med en ulige grad i forskriften for

h

Hvad kan vi konkludere?

Ud fra ovenstående eksempler kan vi se, det er muligt at afgøre om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene ved at undersøge hvert led for sig.

‍	Generel regel	Eksempel
Lige	Et polynomium er lige, hvis hvert led har en lige grad.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Ulige	Et polynomium er ulige, hvis hvert led har en ulige grad.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
Ingen af delene	Et polynomium er hverken lige eller ulige, hvis der er led med både lige og ulige grad.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Tjek din forståelse

3) Er $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍ lige, ulige eller ingen af delene?

Lad os først afgøre om graden af hvert led i

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

er lige eller ulige.

$- 3 x^{4}$ ‍ har en $lige$ ‍ grad.
$- 7 x^{2}$ ‍ har en $lige$ ‍ grad.
$5$ ‍ har en $lige$ ‍ grad, da det kan omskrives til $5 \cdot x^{0}$ ‍.

Da hvert led i funktionsforskriften har en lige grad, så er hele funktionen også lige.

Vi kan også udlede løsningen algebraisk ved at vise

f (- x) = f (x) .

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n}, når n er lige \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & reducering \\ = f (x) \end{aligned}

4) Er $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍ lige, ulige eller ingen af delene?

Lad os først afgøre om graden af hvert led i

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

er lige eller ulige.

$8 x^{7}$ ‍ har en $ulige$ ‍ grad.
$- 6 x^{3}$ ‍ har en $ulige$ ‍ grad.
$x^{2}$ ‍ har en $lige$ ‍ grad.

Da der er led af både lige og ulige grad i forskriften, så er polynomiet hverken lige eller ulige.

Vi kan også udlede løsningen algebraisk ved at vise, at

g (- x)

hverken er det samme som

g (x)

eller det modsatte af

g (x)

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & reducering \end{aligned}

5) Er $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍ lige, ulige eller ingen af delene?

Lad os først afgøre om graden af hvert led i

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

er lige eller ulige.

$10 x^{5}$ ‍ har en $ulige$ ‍ grad.
$2 x^{3}$ ‍ har en $ulige$ ‍ grad.
$- x$ ‍ har en $ulige$ ‍ grad, da det kan omskrives til $- 1 \cdot x^{1}$ ‍.

Da hvert led i funktionsforskriften har en ulige grad, så er hele funktionen også ulige.

Vi kan også udlede løsningen algebraisk ved at vise

h (- x) = - h (x) .

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n}, når n er ulige \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & reducering \\ = - h (x) \end{aligned}

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 9

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

Symmetri af ét-leddede størrelser

Hvad kan vi konkludere?

Symmetri af polynomier

Eksempel 1: f(x)=2x4−3x2−5‍

Eksempel 2: g(x)=5x7−3x3+x‍

Eksempel 3: h(x)=2x4−7x3‍

Hvad kan vi konkludere?

Tjek din forståelse

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Eksempel 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Eksempel 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍