If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 9

Modul 3: Funktioners symmetri
Matematik
Algebra 2
Transformation af funktioner
Funktioners symmetri
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Symmetri i polynomier

Google Classroom
Lær at afgøre, om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Grafen for en funktion vises i et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. Når x går mod minus uendelig, går y mod uendelig. Når x går mod uendelig, går y mod uendelig. Grafen er symmetrisk omkring linjen x er lig 0.
En funktion er en lige funktion, hvis dens graf er symmetrisk omkring y-aksen.
Algebraisk er f en lige funktion, hvis f(−x)=f(x) for alle x-værdier i funktionens definitionsmængde.
Grafen for en tredjegradsfunktion vises i et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. Når x går mod minus uendelig, går y mod minus uendelig. Når x går mod uendelig, går y mod uendelig. Grafen er symmetrisk omkring origo.
En funktion er en ulige funktion, hvis dens graf er symmetrisk omkring origo.
Algebraisk er f en ulige funktion, hvis f(−x)=−f(x) for alle x-værdier i funktionens definitionsmængde.
Hvis dette er nyt for dig, så tjek Introduktion til symmetri i funktioner.

Hvad du kan lære i dette modul

I dette modul skal vi se nærmere på, hvordan man bestemmer om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene ud fra polynomiets forskrift.

Symmetri af ét-leddede størrelser

En ét-leddet størrelse er et polynomium med kun ét led. Èt-leddede størrelser kan skrives på formen f(x)=axn, hvor a er et reelt tal og n er et heltal større end eller lig med 0.
Lad os se nærmere på, hvilken typer af symmetri ét-leddede størrelser kan have samt opstille nogle generelle betingelser for hvornår en ét-leddet størrelse er lige eller ulige.
Når vi skal afgøre om en funktion f er lige, ulige eller ingen af delene, så ser vi nærmere på udtrykket for f(−x):
  • Hvis f(−x) er det samme som f(x), så er funktionenf lige.
  • Hvis f(−x) er det modsatte af f(x), så er funktionenf ulige.
  • I alle andre tilfælde er funktionen hverken lige eller ulige.
Lad os afgøre om f(x)=4x3 er lige, ulige eller ingen af delene.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3reducering=−f(x)da f(x)=4x3
Da f(−x)=−f(x), så f er en ulige funktion.
Løs følgende opgaver, og se om du kan finde et mønster.
1) Er g(x)=3x2 lige, ulige eller ingen af delene?
Vælg 1 svar:

2) Er h(x)=−2x5 lige, ulige eller ingen af delene?
Vælg 1 svar:

Hvad kan vi konkludere?

Fra ovenstående eksempler kan vi se, når en ét-leddet størrelse har en lige grad, så er dens funktion en lige funktion. Ligeledes, når en ét-leddet størrelse har en ulige grad, så er dens funktion en ulige funktion.
Lige funktionUlige funktion
Eksempel g(x)=3x2h(x)=−2x5
Genereltf(x)=axn, hvor n er ligef(x)=axn, hvor n er ulige
Denne sammenhæng giver mening, da (−x)n=xn, når n er lige og (−x)n=−xn, når n er ulige.
Det er sikkert deraf lige og ulige funktioner har fået deres navn!

Symmetri af polynomier

Lad os fortsætte og kigge på polynomier med mere end ét led.

Eksempel 1: f(x)=2x4−3x2−5

Når vi skal afgøre om f er lige, ulige eller ingen af delene, så ser vi nærmere på f(−x).
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xn, når n er lige=2x4−3x2−5reducering=f(x)da f(x)=2x4−3x2−5
Da f(−x)=f(x), så er f en lige funktion.
Bemærk, alle led i forskriften for f har en lige grad.

Eksempel 2: g(x)=5x7−3x3+x

Lad os opstille et udtryk for g(−x).
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn, når n er ulige=−5x7+3x3−xreducering
Hvert led i g(−x) er det modsatte af hvert tilsvarende led i g(x). Derfor er g(−x)=−g(x), og funktionen g er en ulige funktion.
Bemærk, alle led i forskriften for g er af en ulige grad.

Eksempel 3: h(x)=2x4−7x3

Lad os opstille et udtryk for h(−x).
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 og (−x)3=−x3=2x4+7x3reducering
2x4+7x3 er hverken det samme som h(x) eller det modsatte af h(x).
Det kan vi skrive mere matematisk som, h(−x)≠h(x) og h(−x)≠−h(x). Derfor er h hverken en lige eller ulige funktion.
Bemærk, der er både et led med en lige grad og et led med en ulige grad i forskriften for h.

Hvad kan vi konkludere?

Ud fra ovenstående eksempler kan vi se, det er muligt at afgøre om et polynomium er lige, ulige eller ingen af delene ved at undersøge hvert led for sig.
xGenerel regelEksempel
LigeEt polynomium er lige, hvis hvert led har en lige grad.f(x)=2x4−3x2−5
UligeEt polynomium er ulige, hvis hvert led har en ulige grad.g(x)=5x7−3x3+x
Ingen af deleneEt polynomium er hverken lige eller ulige, hvis der er led med både lige og ulige grad.h(x)=2x4−7x3

Tjek din forståelse

3) Er f(x)=−3x4−7x2+5 lige, ulige eller ingen af delene?
Vælg 1 svar:

4) Er g(x)=8x7−6x3+x2 lige, ulige eller ingen af delene?
Vælg 1 svar:

5) Er h(x)=10x5+2x3−x lige, ulige eller ingen af delene?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.