If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Cavalieris princip i 3D

Hvis to 3D figurer har samme højde og samme tværsnitareal ved enhver højde, så har de det samme rumfang.

Cavalieris princip i 3D

Princip: Hvis to 3D figurer har samme højde og samme tværsnitsareal i hvert punkt langs denne højde, har de samme rumfang.

Hvorfor det virker

Forestil dig, at vi har en stabel af mønter (eller bøger eller spillekort). Hvis vi skubber til toppen af stablen, så den skråner til den ene side, har vi så ændret rumfanget? Selvfølgelig ikke!
To identiske stabler af spillemønster. Begge stabler har lige mange mønter. Den ene stabel ligner en opret cylinder. I den anden stabel er mønterne placeret så, de ikke er lige over hinanden.
By HB (Own work) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons
Vi kan skære en fast genstand i gennem med mange parallelle snit og dernæst flytte snittene sidelæns uden at ændre rumfanget.
En animation. To lige store rette cylindre. Den venstre cylinder opdeles i flere og flere skiver som flyttes sidelæns. Når snittene bliver meget tynde, så ligner den venstre cylinder en skæv cylinder.
Prøv selv denne simulation af Cavalieris princip. Du kan ændre antallet af snit og hvor skæv cylinderen skal være. Prøv at øge antallet af snit indtil cylinderen er helt glat.

Udforskning af mere usædvanlige figurer

Vi kan bruge Cavalieris princip til mere end blot kasser og cylindre. Vi kan for eksempel også flytte lagene af en kegle i forhold til hinanden uden at ændre rumfanget.
En animation. To lige store rette kegler. Den kegle opdeles i flere og flere skiver som flyttes sidelæns. I samme højde har de to kegler samme tværsnit.
Prøv selv denne simulation af Cavalieris princip. Træk din mus henover keglen til højre for at ændre dens udseende. Bemærk, uanset hvordan du ændre keglen, så er tværsnitarealet ved en given højde det samme for begge kegler.
Begge figurer har en højde21 og et grundfladeareal64π.
Opgave 1
Hvad er rumfanget af keglen til venstre?
  • Dit svar skal være
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
kubikenheder
Hvad er rumfanget af den ændrede kegle til højre?
  • Dit svar skal være
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
kubikenheder

Cavalieris princip med forskellige figurer

Et af de mere nyttige træk ved Cavalieris princip er, at det gælder, selv når tværsnittene har forskellige former, så længe de har lige store arealer.
Opgave 2.1
Følgende figrer har samme højde og grundfladeareal.
Hvilke af følgende figurer har samme rumfang?
Vælg alle svar der passer:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.