Rumfang af en kegle

Jeg har her to forskellige tre-dimensionale figurer. Jeg har en pyramide til venstre og jeg har en kegle til højre. Vi ved nogle ting, om disse to figurer. Først og fremmest så har de præcis den samme højde. Denne længde er h og den længde her, som går fra spidsen til grundfladens centrum, er også h. Vi ved også, at arealet af grundfladerne er det samme. For eksempel i pyramiden til venstre så er arealet af grundfladen x gange -- og lad os antage det er et kvadrat -- så x gange x. Dette areal er lig x². Arealet af grundfladen er x². Arealet af denne grundflade er lig 𝜋 gange r². Og jeg siger, at disse er lige store. Vi ved derfor, at x² er lig 𝜋 r². Mit spørgsmål til dig er, har de to figurer det samme rumfang, eller er det forskelligt? Hvis de er forskellige, hvilket rumfang er størst? Sæt videoen på pause og tænk over det. Okay, lad os nu lave den sammen. Fordi vi har to figurer med samme højde og samme grundflade areal, så tænker du måske, at Cavalieris princip kan bruges. Lige en hurtig genopfriskning, Cavalieris princip siger, når du har to figurer, vi snakker om 3D udgaven af Cavalieris princip, når du har to figurer med samme højde og som ved et hvert punkt langs højden har det samme tværsnitsareal, så har figurerne det samme rumfang. Vi skal altså finde ud af, om det er sandt at ved et hvert punkt langs højden, så har disse figurer det samme tværsnitsareal. For at finde ud af det, lad os vælge et vilkårligt punkt langs højden. For at gøre det mere simpelt, lad os vælge halvdelen af højden, selvom vi kan vælge et hvert punkt langs højden. Så halvdelen af højden, her. Halvdelen af højden, der. Denne afstand lige her er h/2. Denne afstand er h/2. Hele denne ting er h. Vi kan konstruere noget, der ligner ligedannede trekanter og så overbevise os selv om, at de er ligedannede. Lad mig konstruere dem herover. Grunden til vi ved, de er ligedannede er, at denne linje er parallel med den linje og at den linje er parallel med denne line, til radius. Hvordan ved vi det? Vi laver tværsnit, der er parallelle med grundfladen, der er parallelle med overfladen, som den står på. I begge tilfælde er disse tværsnit parallelle. Disse linjer, som er på disse tværsnit eller på grundfladen, må også være parallelle. Da disse linjer er parallelle, så er den vinkel kongruent med den vinkel. Denne vinkel er kongruent med den vinkel. De er transversaler ved parallelle linjer, så er disse vinkler kongruente. Og de har denne vinkel tilfælles. Her kan du tydeligt se, en ret vinkel og en ret vinkel. Denne vinkel er kongruent med den vinkel. Begge trekanter har den tilfælles. Derfor er den mindre trekant i begge tilfælde ligedannet med den større trekant. Det hjælper os, da vi nu ved, at forholdet mellem tilsvarende sider er det samme. Hvis den side her er h/2, og hele denne højde er h, og er dette halvdelen af hele højden, så ved vi, denne side er halvdelen af r. Denne her er r/2. Med samme argument er denne side x/2. Hvad med arealet af tværsnittet her? Det bliver (x/2)², som er lig x²/4, som er 1/4 af grundfladens areal. Hvad med det her over? Dette tværsnitsareal er lig 𝜋 (r/2)², som er det samme som 𝜋 r²/4, eller vi kan sige 1/4 𝜋 r², som er det samme som 1/4 af grundfladens areal. Arealet af grundfladen er 𝜋 r². Nu har vi 1/4 𝜋 r². Dette er lig 1/4 af det areal. Vi har allerede sagt, at disse to arealer er det samme og vi har lige set, at tværsnitsarealet ved dette punkt langs højden er det samme i begge figurer. Du kan gøre det ved 1/4 af højden og ved 3/4 af højden og din analyse bliver den samme. Du vil have to ligedannede trekanter og du vil se, at du har de samme arealer, det samme tværsnitsareal ved samme punkt langs højden. Derfor kan vi med Cavalieris princip i 3D sige, at disse to figurer har det samme rumfang. Det interessante er, at det giver os mulighed for, at anvende den formel, som vi har bevist og set på i andre videoer, formlen for rumfang af en pyramide. Vi ved, at rumfanget af en pyramide er lig 1/3 gange grundfladen gange højden. Og nu kan vi sige, at da den her har det samme rumfang, så må dens rumfang også være lig 1/3 gange arealet af grundfladen gange højden. Fordi i begge tilfælde er arealet af grundfladen det samme og højden er den samme og vi ved, de har det samme rumfang.