Rumfang af en pyramide

I denne video skal vi snakke om rumfanget af en pyramide. Mange af jer kender måske allerede formlen for rumfanget af en pyramide. Formålet med denne video er at give os en forståelse for, hvorfor det er formlen for rumfanget af en pyramide. Lad os starte med at tegne en pyramide. Jeg tegner en med en rektangulær grundflade. Afhængigt af, hvordan vi ser på formlen, så kunne vi lave en mere generel udgave. Men en pyramide ser nogenlunde således ud. Du kan måske fornemme, hvad formlen for rumfanget af en pyramide er. Hvis vi siger, at denne dimension er x. Den dimension er y. Så har du højden af pyramiden. Hvis du går fra centrum lige op til toppen, eller hvis du måler denne afstand, som er pyramidens højde. Lad os kalde den z. Nu siger du måske, der er tre dimensioner, så måske jeg kan gange de tre dimensioner sammen og det vil give dig rumfang, hvad enhederne angår. Men hvis du blot ganger xy med z, så får du rumfanget af hele denne kasse, som pyramiden er inden i. Det vil give dig rumfanget af denne ting, som tydeligvis er større Den har et større rumfang end selve pyramiden. Pyramiden er inde i den. Dette er spidsen af pyramiden på denne overflade. Sådan her. Nu kan du måske fornemme, at rumfanget af pyramiden er lig x gange y gange z gange en konstant. Det vi skal gøre i denne video er at finde et argument for, hvad den konstant skal være. Når det antages, at rumfanget af pyramiden er på en form som dette. Som hjælp tegner vi en større kasse, og opdele den i seks pyramider, som fylder kassens rumfang helt ud. Lad os forstille os en pyramide, der ser nogenlunde således ud, hvor dens bredde er x og dens dybde er y, så dette er dens grundflade. Højden er halvvejs oppe i kassen. Kassen har højden z og pyramidens højde er z/2. Hvad er rumfanget af pyramiden ud fra, hvad vi lige har set, her? Rumfanget vil være lig en konstant k gange x gange y gange ikke z, men gange højden af pyramiden, gange z/2. Det bliver x gange y gange z/2 eller vi kan skrive xyz over 2. Jeg kan konstruere en anden pyramide med helt de samme dimensioner. Jeg vender blot den første pyramide på hovedet, så den ser således ud. Denne pyramide har også dimensionerne x bred, y dyb og z/2 høj. Dens rumfang er også dette. Hvad er det samlede rumfang af disse to pyramider? Det bliver dette gange 2. Det samlede rumfang af disse pyramider -- lad mig lige vise det således -- Vi har to af dem, så 2 gange deres rumfang, V er lig 2 gange dette, som blot er k gange xyz. Vi har flere pyramider at få styr på. Jeg har denne pyramide lige her, hvor denne flade er dens grundflade. Den ser nogenlunde således ud. Hvad er dens rumfang? Dens rumfang er lig k gange dens grundflade, som er y gange z, så kyz Hvad er dens højde? Højden af det halve af x. Så højden er det halve af x. Det er k gange y gange z gange x/2. Eller jeg kan sige gange x og så dividere det hele med 2. Nu har jeg endnu en pyramide med helt de samme dimensioner. Den er her over. Jeg forsøger at tegne den på denne side omvendt af den vi lige så på, som vi egentlig blot vender Den har de helt samme dimensioner. Man kan også sige, at vi har to pyramider, der ser således ud med disse dimensioner. Dette gælder for en vilkårlig kasse, som vi her bruger. Jeg har to af disse. Når du har to af deres rumfang, hvad får du så? Det bliver 2 gange dette udtryk. Det bliver k gange xyz. Spændende. Sidst men ikke mindst, så har vi endnu to pyramider. Vi har denne her med denne flade som sin grundflade. Dette er grundfladen. Hvis den var gennemsigtig, så kunne du se, hvad jeg tegner her. Og du har en på den modsatte side. Lige her på den anden side. Du har vendt denne om. Med samme logik -- lad mig lige tegne det -- så var vi to af disse pyramider. Hvilket rumfang har hver af dem? Hver af dem har en grundflade på x gange z. Så det bliver k gange x gange z. Det er arealet af deres grundflade. Hvad med højden? Hver af dem har højden y/2, gange y/2. Jeg har to af disse pyramider, så jeg ganger med 2. 2'erne går ud med hinanden, så jeg har k gange xyz tilbage. En af de spændende ting, som vi lige har opdaget er, at selvom disse pyramider har forskellige dimensioner, så har de det samme rumfang. Det er da interessant i sig selv. Hvis vi lægger alle rumfang fra alle pyramiderne sammen og bruger denne formel til at udtrykke dem, så bør det svare til rumfanget af hele kassen. Måske vi dermed kan bestemme k. Rumfanget af hele kassen er xyz. x gange y gange z. Og det er lig summen af disse. Det bliver lig k∙xyz + k∙xyz + k∙xyz, eller du kan sige 3 k∙xyz. Det jeg gjorde var, at lægge rumfanget fra alle disse pyramider sammen. Hvordan finder vi k? Vi kan løse for k ved at dividere på begge sider med 3∙xyz På højre side går det hele ud med hinanden og vi har blot k tilbage. På venstre side har vi 1/3 tilbage. Så k er lig 1/3. Sådan, det er vores argument for, hvorfor rumfanget af en pyramide er 1/3 gange grundfladen gange højden. Du kan se det skrevet på den måde eller du kan se det som 1/3 gange grundfladen, så hvis x gange y er grundfladen, så er det grundfladearealet gange højde, som her er z, men hvis du siger h i stedet, så har du formlen for pyramiden skrevet således. Men de er det samme. Defor skal du have det godt med denne 1/3.